MATEMATICA II

NUMEROS COMPLEJOS

DEFINICION

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.



En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

OPERACIONES

Adición de números complejos:

Se llama suma de dos o más números complejos al complejo que tiene como componente real la suma de las componentes reales y como componente imaginaria la suma de las componentes imaginarias de los números sumandos.

Suma = ( 2 ; 3 ) + ( 4; 5 ) =[ ( 2 + 4 ) ; ( 3 +5 )] = (6 ; 8 )



Representar en forma binómica

( 2/3 ; 5 ) = ( 2/3 + 5i ) ( 1/3 ; -2 ) = ( 1/3 - 2i)

Complejos conjugados :

Son iguales en valor absoluto tanto reales como imaginarios,pero éstos últimos tienen diferente signo.

Suma (3 + 2i ) + (3 - 2i ) = 3 +3 = 2.3 Su resultado es el DUPLO REAL

Resta ( 3 + 2i ) - ( 3 - 2i ) = 2i+2i = 2.2 = 4i Su resultado es DUPLO IMAGINARIO

Potencia de números complejos

i0 = 1 i4= 1 i8= 1
i1 = i i5= i i9= i
i2 = -1 i6 = - 1 i10= -1
i3= - i i7= - i i11 = - i

Multiplicación

Producto de una unidad imaginaria

( 2 + 4i ) .( 1 - 2i ) = Se aplica propiedad distributiva

( 2 . 1 ) + ( 2 . - 2i ) + ( 4i . 1 ) + ( 4i . - 2i ) = 2 4i + 4i + 4i2=

2 + 4 . - 1 =

2 - 4 = -3

Complejos conjugados :

El producto de dos complejos conjugados es igual a la suma de los cuadrados de las dos componentes

( 3 + 2i ) . ( 3 - 2i ) = ( 3 )2 - ( 2i )2 =

9 - 4i2 = 9 - 4 . -1 =

9 + 4 = 13

Aplicando propiedad distributiva

( 3 + 2i ) . ( 3 - 2i ) =

( 3 . 3 ) + ( 3 . - 2i ) + ( 2i . 3 )+ ( 2i . - 2i ) =

9 - 6i + 6i - - 4i2 =
9 - 4 . - 1=
9 + 4 = 13

Ejemplo de no conjugado

( 3 + 2i ) . ( 4 - 3i ) =

( 3 . 4) + ( 3.- 3i ) + ( 2i . 4 )+ ( 2 i. - 3i ) =

12 - 9i +8i - 6i =
12 -9i + 8i - 6 . (- 1)=
12 - i + 6 =
( 18 - i )

División de números complejos

5 - 2i =
4 + 3i

( 5 - 2i ) . ( 4 - 3i ) =
( 4 + 3i) . ( 4 - 3i )


20 - 8i - 15i + 6i2 =
42 + 32

20 - 8i - 15i - 6 =
16 + 9

14 - 23i =
25

( 14/25 - 23/25i )



Raíces de índice par de números negativos

√-25 no tenía solución en el conjunto de los números reales, pero al considerar los números complejos este problema queda resuelto.

√-25 = + 5 y - 5

+ 5i . + 5i = ( 5i )2 = 25i2 = -25

- 5i . - 5i = ( - 5i )2 = 25i2= - 25